清浏阳县人，字敬甫。谭嗣同(1865—1898)之父。道光三年(1823)生。二十九年中举人。咸丰九年(1859)成进士。同治十三年(1874)官户部员外郎。次年转户部郎中。旋监督坐粮厅，驻通州，主办验收漕粮、催督转运等事务。光绪三年（1877）由谭钟麟荐于左宗棠，得由京官外放，补授甘肃巩秦阶道，加二品衔。后擢甘肃按察使、布政使。十五年升任湖北巡抚。在政期间，人称办事唯谨。湖广总督张之洞办事专断时，他也不敢违抗。

中日甲午战争后，维新变法思潮激荡，谭继洵思想偏于保守。湖广总督张之洞每约其联衔陈奏新政，皆谢不敏，与张之洞论事每多相左。其子嗣同，锐意维新，父子间意见亦不合。谭嗣同和唐才常倡导变法，计划在浏阳设立算学格致馆，推广新学，唐才常与刘善涵曾婉请其出名首倡，藉资号召，而谭继洵表示：“守老氏之宝，不欲为天下先。”张之洞条陈新政时，也不予会衔。“百日维新”期间，为山东道监察御史杨深秀所参劾，在所奏不称职官僚折中，指出：“即湖北巡抚谭继洵守旧迂拘，虽人尚无他，要非能奉行新政者。此等即不逢裁缺，亦当分别罢斥，或优之听其告休。”及至谭嗣同以主张变法得入军机，谭继洵又疏荐宋育仁为人才，但奏入时已发生政变。

戊戌政变发生后，谭嗣同遇害，谭继洵被连坐革职，勒令回籍，交地方官管束。光绪二十七每九月十二日(1901年10月23日)忧惧而卒。